Matematikens gränser
Den kanske störste matematikern kring det förra sekelskiftet, David Hilbert, har fått inskriptionen Wir müssen wissen -- Wir werden wissen på sin gravsten i Göttingen. Detta är ett citat från ett tal som Hilbert höll inför tyska vetenskapsmän i Königsberg den 8 september 1930 och speglar den optimism som rådde när det gällde tron på vetenskaplig metod och problemlösning.
Sedan strax före sekelskiftet hade Hilbert och andra lyckats axiomatisera vissa delar av matematiken och med landvinningarna inom logiken under den senare delen av 1800-talet som grund, kunde man formulera precisa frågor kring bevisbarhet och konsistens (frihet från motsägelser) i matematiska termer. Inom den så kallade metamatematiken kunde matematiska teorier betraktas som matematiska objekt och behandlas med matematiska metoder. Frågor som Är alla sanna satser bevisbara?, Är alla funktioner beräkningsbara och Är alla problem lösbara? kunde behandlas vetenskapligt och ges, ofta helt oväntade, svar.
1930 bevisade Kurt Gödel att Hilberts förhoppningar knappast går att uppfylla. Tvärtom säger Gödels ofullständighetssats att det, för vilket som helst försök att axiomatisera ens elementär talteori, finns sanna satser som inte kan bevisas utifrån axiomen. En matematiker riskerar alltså alltid att just det problem han försöker lösa, inte kan lösas med de metoder han har till sitt förfogande. Gissningsvis kommer det alltså alltid att finnas konkreta, kanske rent av enkelt formulerbara, frågor i matematiken som vi aldrig kommer att få svar på.
Men alla resultat är inte av negativ karaktär. Metamatematiken gjorde det också möjligt att bevisa att vissa delar av matematiken kan beskrivas axiomatiskt. Exempel på detta är Hilberts axiomatisering av geometrin och teorierna för algebraiskt eller reellt slutna kroppar.
Innehåll: Med utgångspunkt i David Hilberts, Alan Turings, Kurt Gödels och andras forskning reder vi ut intressanta frågeställningar om matematikens begränsningar. Vi ger exempel på problem som inte kan lösas algoritmiskt, talstrukturer som inte kan beskrivas axiomatiskt och funktioner som i en intressant mening inte är beräkningsbara. Vi ger också enkla exempel på sanna talteoretiska satser som inte kan bevisas i talteorin.
Under föreläsningens gång ger vi också utrymme för diskussion kring vilken bild av matematiken vi förmedlar till våra elever och i vad mån detta är en korrekt bild.